AMC10经典培训教材 - 数学 (10)

1. 基础知识

1.1. 与距离、速率和时间相关的基础公式

\[ d = {rt} \tag{1.1} \]

\( d \) 表示距离(以英里、英尺、千米、米等单位给出)， \( t \) 表示时间(小时、分钟、秒等)， \( r \) 表示(匀速

固定、稳定、恒定或平均的速度。

\[ r = \frac{d}{t} \tag{1.2} \]

\[ t = \frac{d}{r} \tag{1.3} \]

在下图中，我们将 \( {d}_{1} \) 与 \( {d}_{2} \) 相加得到总距离 \( d : d = {d}_{1} + {d}_{2} \) ，并将 \( {t}_{1} \) 与 \( {t}_{2} \) 相加得到总时间 \( t : t = {t}_{1} + {t}_{2} \) 。

然而，我们不添加 \( {r}_{1} \) 和 \( {r}_{2} : r \neq {r}_{1} + {r}_{2} \) 。

\[ r = \frac{d}{t} = \frac{{d}_{1} + {d}_{2}}{{t}_{1} + {t}_{2}} = \frac{{d}_{1} + {d}_{2}}{\frac{{d}_{1}}{{r}_{1}} + \frac{{d}_{2}}{{r}_{2}}} = \frac{{r}_{1}{r}_{2}\left( {{d}_{1} + {d}_{2}}\right) }{{d}_{1}{r}_{2} + {d}_{2}{r}_{1}} \tag{1.2.1} \]

\[ \text{If}{d}_{1} = {d}_{2}, r = \frac{{r}_{1}{r}_{2}\left( {{d}_{1} + {d}_{2}}\right) }{{d}_{1}{r}_{2} + {d}_{2}{r}_{1}} = \frac{{2d}{r}_{1}{r}_{2}}{d\left( {{r}_{2} + {r}_{1}}\right) } = \frac{2{r}_{1}{r}_{2}}{{r}_{1} + {r}_{2}} \tag{1.2.2} \]

1.2.两人同向行走:

将Alex的速度记为 \( {r}_{A} \) ，Bob的速度记为 \( {r}_{B} \) ，且 \( {r}_{A} > {r}_{B} \) 。设他们之间的距离为 \( d \) 。

为简化此问题，可假设鲍勃静止不动，而亚历克斯以相对速度 \( \left( {{r}_{A} - {r}_{B)}}\right. \) 行走，在时间 \( t \) 内走完距离 \( d \) 。

\( d = \left( {{r}_{A} - {r}_{B}}\right) t \) (1.4)

因此，Alex追上Bob所需的时间为: \( t = \frac{d}{{r}_{A} - {r}_{B}} \) (1.5)

1.3.两人相向而行

亚历克斯的速度是 \( {r}_{A} \) ，鲍勃的速度是 \( {r}_{B} \) ，他们之间的距离是 \( d \) 。

这一次，可以认为鲍勃静止不动，而亚历克斯以相对速度 \( \left( {{r}_{A} + {r}_{B)}}\right. \) 行走，用时间 \( t \) 走完距离 \( d \) 。

\[ d = \left( {{r}_{A} + {r}_{B}}\right) t \tag{1.6} \]

亚历克斯与鲍勃相遇所需的时间为: \( t = \frac{d}{{r}_{A} + {r}_{B}} \) (1.7)

1.4. 顺流而下的船

该船发动机在静水中为船提供的速度为 \( {r}_{E} \) 。水流速度为 \( {r}_{C} \) ，在时间 \( t \) 内行驶的距离为 \( d \) 。

为解决这类问题，可以认为船以相对速度 \( \left( {{r}_{E} + {r}_{C}}\right) \) 行驶距离 \( d \) 所需时间为 \( t \) 。

\[ d = \left( {{r}_{E} + {r}_{C}}\right) t \tag{1.8} \]

船行驶距离 \( d \) 所需时间为: \( t = \frac{d}{{r}_{E} + {r}_{C}} \) (1.9)

1.5 逆流而上的船

船的引擎在静水中为船提供的速度为 \( {r}_{E} \) ，河水流速为 \( {r}_{C} \) ，在时间 \( t \) 内行驶的距离为 \( d \) 。

可以认为船以相对速度 \( \left( {{r}_{E} - {r}_{C}}\right) \) 行驶距离 \( d \) 。

\[ d = \left( {{r}_{E} - {r}_{C}}\right) t \tag{1.10} \]

船行驶距离 \( d \) 所需时间为: \( t = \frac{d}{{r}_{E} - {r}_{C}} \) (1.11)

1.6 相遇后继续行走

Alex从 \( A \) 走向 \( B \) ，Betsy同时从 \( B \) 走向 \( A \) 。经过 \( t \) 小时后，他们相遇，然后继续行走。Alex到达 \( B \) 还需 \( {t}_{1} \) 小时，Betsy到达 \( A \) 还需 \( {t}_{2} \) 小时。假设两人速度恒定，则 \( t \) 与 \( {t}_{1},{t}_{2} \) 满足以下关系:

\[ t = \sqrt{{t}_{1} \times {t}_{2}} \tag{1.12} \]

证明:

设 \( {V}_{a} \) 和 \( {V}_{b} \) 分别为Alex和Betsy的速度，

由于相遇前Alex走的距离等于相遇后Betsy走的距离，因此:

\[ {V}_{a} \times t = {V}_{b} \times {t}_{2}, \tag{1} \]

相遇后Alex走的距离等于相遇前Betsy走的距离，因此:

\[ {V}_{a} \times {t}_{1} = {V}_{b} \times t \tag{2} \]

(1) \( \div \left( 2\right) : \frac{t}{{t}_{1}} = \frac{{t}_{2}}{t}\; \Rightarrow \;t = \sqrt{{t}_{1} \times {t}_{2}} \) .

2 典型问题

例1:从夏洛特(Charlotte)到阿什维尔(Asheville)约120英里。若R.C.需在2小时内完成行程，但前60英里以 \( {50}\mathrm{{mph}} \) 行驶，后半程需以多快车速才能准时到达？(A) \( {70}\mathrm{{mph}}\; \) (B) \( {75}\mathrm{{mph}}\; \) (C) \( {77.2}\mathrm{{mph}}\; \) (D) \( {80}\mathrm{{mph}}\; \) (E)以上皆非

解答:(B)。

方法1: \( t = {t}_{1} + {t}_{2}\; \Rightarrow \;\frac{60}{50} + \frac{{120} - {60}}{{r}_{2}} = 2\; \Rightarrow \;{r}_{2} = {75} \) 。

方法2:在前60英里中，根据(1.3)，R.C.已行驶 \( {60}/{50} = 6/5 \) 小时。在接下来的60英里中，R.C.仅有4/5小时可行驶，根据(1.2)，他必须达到60/(4/5)=75英里/小时。

例2. 一辆车以30英里/小时的速度从A到B行驶120英里，但返程以40英里/小时的速度行驶相同距离。往返全程的平均速度最接近:

(A) \( \frac{120}{7}\mathrm{{mph}} \) (B) \( \frac{240}{7}\mathrm{{mph}} \) (D) \( \frac{24}{7}\mathrm{{mph}} \) (E) \( {37}\mathrm{{mph}} \)

解答:(B)。

若一辆车以速率 \( {r}_{1} \) 行驶距离 \( d \) ，并以速率 \( {r}_{2} \) 返回相同距离，则

平均速度 \( = \frac{\text{ total distance }}{\text{ total time }} = \frac{2d}{d/{r}_{1} + d/{r}_{2}} = \frac{2{r}_{1}{r}_{2}}{{r}_{1} + {r}_{2}};\therefore x = \frac{2 \cdot {30} \cdot {40}}{70} = \frac{240}{7} \) 。

例3. Josh从夏洛特(Charlotte)到阿什维尔(Asheville)的平均速度为 \( {60}\mathrm{{mph}} \) 。两城相距约120英里。若他以 \( {45}\mathrm{{mph}} \) 的速度行驶了36英里，则剩余距离他以多快行驶？

(A) \( {663}/7\mathrm{{mph}} \) (B) \( {70}\mathrm{{mph}} \) (C) \( {723}/7\mathrm{{mph}} \) (D) 75英里/小时 (E) \( {82}\mathrm{{mph}} \)

解答:(B)。

设 \( X \) 为距夏洛特36英里处。

方法1: \( t = {t}_{1} + {t}_{2}\; \Rightarrow \;\frac{36}{45} + \frac{{120} - {36}}{{r}_{2}} = \frac{120}{60} \Rightarrow \;{r}_{2} = {70} \) 。

方法2:根据(1.2)， \( r = \frac{d}{t} \Rightarrow \;{60} = \frac{120}{\frac{36}{45} + \frac{{120} - {36}}{{r}_{2}}} \)

\[ \Rightarrow \;\frac{36}{45} + \frac{{120} - {36}}{{r}_{2}} = 2\; \Rightarrow \;\frac{84}{{r}_{2}} = 2 - \frac{36}{45} \Rightarrow \;{r}_{2} = {70}. \]

例4. 一辆汽车以 \( {40}\mathrm{{mph}} \) 的速度驶离小镇。两小时后，第二辆汽车沿同一条路以 \( {60}\mathrm{{mph}} \) 的速度从同一小镇出发。第二辆汽车需要行驶多少小时才能追上第一辆汽车？

(A) 2小时 (B) 1小时 (C) 1.5小时 (D) 4小时 (E) 3小时

解答:(D)。

在两个小时里，第一辆汽车行驶了 \( 2 \times {40} \) 英里。

根据(1.4)， \( d = \left( {{r}_{A} - {r}_{B}}\right) t\; \Rightarrow \;{80} = \left( {{60} - {40}}\right) t\; \Rightarrow \;t = 4 \) 小时。

例5. (AMC 12) 约翰以每小时3英里的速度向东行走。鲍勃也向东行走，但速度为每小时5英里。如果鲍勃现在位于约翰西边1英里处，鲍勃需要多少分钟才能追上约翰？

(A) 30 (B) 50 (C) 60 (D) 90 (E) 120

解答:(A)。

方法1(官方解答):

为了追上约翰，鲍勃必须在相同时间内多走1英里。由于鲍勃的速度比约翰快 \( 5 - 3 = 2 \) 英里/小时，鲍勃追上约翰所需时间为 \( 1/2 \) 小时，即30分钟。

方法2(我们的解答):

鲍勃以 \( \left( {{r}_{B} - {r}_{J}}\right) \) 的相对速度行走，用时间 \( t \) 走完1英里。

根据(1.4)， \( d = \left( {{r}_{A} - {r}_{B}}\right) t \Rightarrow \;1 = \left( {5 - 3}\right) t \Rightarrow \;t = \frac{1}{2} \) 小时 \( = {30} \) 分钟。

例6. (2007 AMC 10A) 严位于家和体育场之间的某处。他可以直接步行前往体育场，也可以先步行回家，再骑自行车前往体育场。他骑车的速度是步行速度的7倍，且两种选择所需时间相同。他家到当前位置的距离与当前位置到体育场的距离之比是多少？(A) \( 2/3 \) (B) \( 3/4 \) (D) \( 5/6 \) (E) \( 6/7 \)

解答:(B)。

方法1(官方解答):

设 \( w \) 为Yan的步行速度， \( x \) 和 \( y \) 分别为Yan到家的距离和到体育馆的距离。Yan步行到体育馆所需时间为 \( y = w \) ，步行回家所需时间为 \( x = w \) 。因为他以 \( {7w} \) 的速度骑自行车，从家到体育馆所需时间为 \( \left( {x + y}\right) /\left( {7w}\right) \) 。因此

\[ \frac{y}{w} = \frac{x}{w} + \frac{x + y}{7w} = \frac{{8x} + y}{7w} \]

于是 \( {7y} = {8x} + y \) ，所以 \( {8x} = {6y} \) 。所求比值为 \( x/y = 6/8 = 3/4 \) 。方法2(我们的解法):设 \( v \) 为Yan的步行速度， \( x \) 和 \( y \) 分别为Yan到家的距离和到体育馆的距离。

我们绘制如下示意图:

对于图(a)，我们可以写出

\[ x = v{t}_{1} \tag{1} \]

\[ x + y = {7v}{t}_{2}\; \Rightarrow \;\left( {x + y}\right) /7 = v{t}_{2} \tag{2} \]

对于图(b)，我们有 \( y = v\left( {{t}_{1} + {t}_{2}}\right) = v{t}_{1} + v{t}_{2} \) (3)

将(1)和(2)代入(3):

\[ y = x + \left( {x + y}\right) /7 \Rightarrow {7y} = {7x} + \left( {x + y}\right) \Rightarrow {6y} = {8x} \Rightarrow x/y = 6/8 = 3/4\text{.} \]

例7.(2002 AMC 10A)Earl E. Bird先生每天早上 \( 8 : {00} \) 准时离家上班。当他平均时速为40英里时，会迟到3分钟；当他平均时速为60英里时，会提前3分钟到达。Bird先生应以多少英里/小时的平均速度行驶，才能准时到达工作地点？

(A) 45 (B) 48 (C) 50 (D) 55 (E) 58

解答:(B)。

方法1(官方解答):

设 \( t \) 为Bird先生准时到达所需的小时数。

因为3分钟等于0.05小时， \( {40}\left( {t + {0.05}}\right) = {60}\left( {t - {0.05}}\right) \) 。于是 \( {40t} + 2 = {60t} - 3 \) ，所以 \( t = {0.25} \) 。从家到工作地点的距离为 \( {40}\left( {{0.25} + {0.05}}\right) = {12} \) 英里。因此，他的平均速度应为 \( {12}/{0.25} = {48} \) 英里/小时。

方法2(官方解答):

设 \( d \) 为Bird先生家到工作地点的距离，设 \( s \) 为期望的平均速度，则期望的驾驶时间为 \( d/s \) 。由于 \( d/{60} \) 比期望时间少三分钟，而 \( d/{40} \) 比期望时间多三分钟，因此期望时间应为两者的平均值，

\[ \text{so}\frac{d}{s} = \frac{1}{2}\left( {\frac{d}{60} + \frac{d}{40}}\right) \text{. Thus}\frac{1}{s} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{60} + \frac{1}{40}}\right) = \frac{5}{240} = \frac{1}{48}\text{, so}s = {48}\text{.} \]

方法3(我们的解法):

设 \( d \) 为Bird先生家到工作地点的距离，设 \( t \) 为Bird先生必须行驶的小时数，以便准时到达。我们将三分钟转换为 \( \frac{1}{20} \) 小时。

当他以40英里/小时(miles per hour)的平均速度行驶时，他到达工作地点会迟到三分钟。因此我们有 \( \frac{d}{40} = t + \frac{1}{20} \) (1)当他以60英里/小时(miles per hour)的平均速度行驶时，他会提前三分钟到达。

因此我们有 \( \frac{d}{60} = t - \frac{1}{20} \) (2)

(1)+(2): \( \frac{d}{60} + \frac{d}{40} = {2t}\; \Rightarrow \;\frac{d}{t} = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{60}} = {48} \) .

例8.(AMC 12)Sunny以恒定速率奔跑，而Moonbeam的奔跑速度是Sunny的 \( m \) 倍，其中 \( m \) 是一个大于1的数。如果Moonbeam让Sunny先跑 \( h \) 米，那么Moonbeam必须跑多少米才能追上Sunny？

(A) \( {hm} \) (B) \( \frac{h}{h + m} \) (C) \( \frac{h}{m - 1} \) (D) \( \frac{hm}{m - 1} \) (E) \( \frac{h + m}{m - 1} \)

解答:(D)。

方法1(官方解法):

设 \( x \) 为Moonbeam追上Sunny所需跑的米数，设 \( r \) 和 \( {mr} \) 分别为Sunny和Moonbeam的速率。由于Sunny在Moonbeam跑 \( x \) 米的相同时间内跑了 \( x \) \( - h \) 米，因此 \( x - h/r = \) \( x/{mr} \) 。解出 \( x \) ，我们得到 \( x = {hm}/m - 1 \) 。

方法2(我们的解法):

设 \( {V}_{m} \) 和 \( {V}_{s} \) 分别为Moonbeam和Sunny的速度。设 \( t \) 为Moonbeam追上Sunny所需的时间。设 \( d \) 为Moonbeam必须跑的距离才能追上Sunny。

\[ \left( {{V}_{M} - {V}_{S}}\right) t = h \tag{1} \]

我们知道 \( {V}_{M} = m{V}_{S}\; \Rightarrow \;\frac{{V}_{M}}{m} = {V}_{S} \) (2)

将(2)代入(1): \( \left( {{V}_{M} - \frac{{V}_{M}}{m}}\right) t = h \Rightarrow {V}_{M}\left( {1 - \frac{1}{m}}\right) t = h \Rightarrow \)

\[ {V}_{M}t = \frac{h}{1 - \frac{1}{m}} = \frac{hm}{m - 1} = d. \]

例9.(AMC 12)在一场 \( h \) 米赛跑中，当Sunny冲过终点时，他恰好领先Windy \( d \) 米。下一次比赛时，Sunny礼貌地让Windy在起跑线，而自己在Windy后方 \( d \) 米处起跑。两位选手都以与第一次比赛相同的恒定速度奔跑。当Sunny完成第二场赛跑时，他领先多少米？

(A) \( \frac{d}{h} \) (B) 0 (C) \( \frac{{d}^{2}}{h} \) (D) \( \frac{{h}^{2}}{d} \) (E) \( \frac{{d}^{2}}{h - d} \)

解答:(C)。

方法1(官方解答):设 \( r \) 为Sunny的速度。于是 \( h/r \) 和 \( \left( {h + d}\right) /r \) 分别是Sunny跑完 \( h \) 米和 \( h + d \) 米所需的时间。由于当Sunny跑 \( h \) 米时，Windy只跑了 \( h - d \) 米，因此Windy的速度为 \( \left( {h - d}\right) r/h \) 。于是，当Sunny跑 \( h + d \) 米时，Windy跑的距离为 \( \left( {h - d}\right) r/h \cdot \left( {h + d}\right) /r = \left( {{h}^{2} - {d}^{2}}\right) /h = h - {d}^{2}/h \) 。Sunny领先Windy的胜差为 \( {d}^{2}/h \) 。

方法2:假设 \( h = {100}, d = {10} \) ，且第一场比赛用时10秒。那么Sunny跑了 \( {10}\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) ，Windy跑了 \( 9\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) 。在第二场100米比赛中，Sunny用11秒跑完110米。这段时间内Windy只跑了 \( {11}\left( 9\right) = {99} \) 米，因此Sunny领先1米完赛。将 \( h \) 和 \( d \) 的值代入各选项，只有选项 \( \mathrm{C} \) 得到结果为1。

例10. Alex和Bob在一条周长500米的环形跑道上跑步，两人速度不同。若他们同时同地出发但反向而行，首次相遇需75秒。已知Bob的速度为180米/分钟，求Alex的速度。

(A) 220 (C) 260 (D) 290 (E) 120

解答:(A)。

方法1:

将75秒换算为分钟得1.25分钟。由于Alex和Bob反向而行，两人首次相遇时跑过的距离之和恰为跑道周长。1.25分钟内，Bob跑了180 \( \times {1.25} = {225} \) 米。因跑道周长为500米，Alex跑了 \( {500} - {225} = {275} \) 米。Alex的速度为 \( {275}/{1.25} = {220} \) 米/秒。

方法2:

当他们相向而行时，其中一人静止，另一人的相对速度为 \( {r}_{A} + {r}_{B} \) 。由(1.6)得

\[ d = \left( {{r}_{A} + {r}_{B}}\right) t \Rightarrow \;{500} = \left( {{r}_{A} + {180}}\right) \times {1.25} \Rightarrow \;{r}_{A} = \frac{500}{1.25} - {180} = {220}. \]

例11. 车A与车B同时相向而行。若车A提前 \( x \) 分钟出发，两车将比平常提前30分钟相遇。车A速度为 \( {60}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) ，车B速度为 \( {40}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) 。求 \( x \) ？ (A) \( {20}\mathrm{\;{min}} \) 。 (B) \( {50}\mathrm{\;{min}} \) 。 (C) \( {60}\mathrm{\;{min}} \) 。 (D) 90分钟。

解答:(B)。

方法1:

下图描绘了车A与车B同时相向而行的情形。

由(1.6)得 \( d = \left( {{r}_{A} + {r}_{B}}\right) t\; \Rightarrow \;d = \left( {{60} + {40}}\right) \times t \) (1)

当A车提前30分钟(即0.5小时)出发时，我们得到不同的结果。

\( d = {60} \times x + \left( {{60} + {40}}\right) \times \left( {t - {0.5}}\right) \) (2)

联立(1)和(2)解得:

\( {60} \times x + \left( {{60} + {40}}\right) \times \left( {t - {0.5}}\right) = \left( {{60} + {40}}\right) \times t\; \Rightarrow \;{60} \times x + {100t} - {50} = {100t} \)

\( \Rightarrow \;x = \frac{50}{60} \) 小时 \( = {50} \) 分钟。

方法二:

由于若A车提前 \( x \) 分钟出发，两车将提前30分钟(0.5小时)相遇，在这30分钟内，A车行驶了 \( {60} \times {0.5} = {30}\mathrm{\;{km}} \) ，B车行驶了 \( {40} \times {0.5} = {20}\mathrm{\;{km}} \) 。因此A车实际在1小时(30分钟+30分钟)内行驶了 \( {50}\mathrm{\;{km}} \) 。故A车提前 \( {50}/{60} = {50} \) 分钟出发。

例12. 一架飞机顺风飞行，5小时飞行1200英里；返程逆风，耗时6小时。求飞机的巡航速度(cruising speed)和风速(wind speed)(假设两者均为常数)。

(A) \( {220}\mathrm{{mph}},{20}\mathrm{{mph}} \) (B) \( {220}\mathrm{{mph}},{40}\mathrm{{mph}} \) (C) \( {230}\mathrm{{mph}},{20}\mathrm{{mph}} \)

(D) \( {230}\mathrm{{mph}},{40}\mathrm{{mph}} \) (E) \( {240}\mathrm{{mph}},{20}\mathrm{{mph}} \)

解:(A)。

设 \( {r}_{E} \) 为巡航速度， \( {r}_{C} \) 为风速。

由(1.9)得 \( t = \frac{d}{{r}_{E} + {r}_{C}} \Rightarrow 5 = \frac{1200}{{r}_{E} + {r}_{C}} \Rightarrow \;{r}_{E} + {r}_{C} = \frac{1200}{5} = {240} \) (1)

由(1.11)得 \( t = \frac{d}{{r}_{E} - {r}_{C}} \Rightarrow 6 = \frac{1200}{{r}_{E} - {r}_{C}} \Rightarrow \;{r}_{E} - {r}_{C} = \frac{1200}{6} = {200} \) (2)

由此得到一个方程组。 \( {r}_{E} = {220},{r}_{C} = {20} \) 。

例13. 河水流速恒定。一艘在静水中速度恒定的汽艇从港口 \( A \) 驶往港口 \( B \) ，然后返回起点。全程耗时两小时。返程时因顺流，每小时速度增加 \( 8\mathrm{\;{km}} \) 。第二小时行驶的距离比第一小时多 \( 6\mathrm{\;{km}} \) 。求 \( A \) 与 \( B \) 之间的距离。

(A) \( {20}\mathrm{\;{km}} \) (B) \( {15}\mathrm{\;{km}} \) (C) \( {26}\mathrm{\;{km}} \) (D) \( {29}\mathrm{\;{km}} \) (E) \( {12}\mathrm{\;{km}} \)

解:(B)。

船逆流从 \( A \) 到 \( C \) 需1小时，再走 \( C - B - C - A \) 又需1小时。因 \( C - B - C - A \) 比 \( A \) 到 \( C \) 长 \( 6\mathrm{\;{km}} \) ，故 \( C \) 到 \( B \) 的距离为 \( 3\mathrm{\;{km}} \) 。

设 \( t \) 为船从 \( C \) 到 \( B,{r}_{E} \) 的时间， \( C \) 为引擎速度， \( {r}_{C} \) 为水流速度。

我们有 \( \left( {{r}_{E} - {r}_{C}}\right) + 8 = \left( {{r}_{E} + {r}_{C}}\right) \) (1)

\( \left( {{r}_{E} - {r}_{C}}\right) \times 1 + 6 = \left( {{r}_{E} - {r}_{C}}\right) \times t + \left( {{r}_{E} + {r}_{C}}\right) \left( {1 - t}\right) \) (2)

由(1)得: \( {r}_{C} = 4 \) 。将此值代入(2)并解 \( t \) ，得: \( t = \frac{1}{4} \) 。

船在 \( \frac{1}{4} \) 小时内行驶 \( 3\mathrm{\;{km}} \) 。因它在 \( \left( {1 + \frac{1}{4}}\right) \) 小时内行驶 \( x\mathrm{\;{km}} \) ，故 \( x = {15} \) \( \mathrm{{km}} \) 。

例14. 贝齐和亚历克斯从同一点出发，沿周长400米的环形跑道反向跑步。相遇后，贝齐速度增加2米/秒，亚历克斯速度减少2米/秒。两人均在24秒后回到起点。求贝齐的初始速度。

(A) \( {13}\frac{1}{2}\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (B) \( 7\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (C) \( 7\frac{2}{3}\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (D) \( \frac{22}{3}\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (E) \( {12}\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \)

解答:(D)。

因速度变化前后两人速度之和不变，故相遇时间亦相同。已知速度变化后24秒再次相遇，故速度变化前相遇时间亦为24秒。

设 \( {r}_{B} \) 为贝齐初始速度，则 \( {r}_{B} + 2 \) 为其新速度。

贝齐跑完一圈，48秒内跑400米，故有 \( {24}{r}_{B} + {24}\left( {{r}_{B} + 2}\right) = {400} \) 。

解 \( {r}_{B} \) ，得 \( {r}_{B} = \frac{22}{3}\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) 。

例15. (AMC 12) 两游泳者位于90英尺泳池两端，分别以3英尺/秒和2英尺/秒的速度往返游动，持续12分钟。假设转身不耗时，求两人相遇次数。

(A) 24 (B) 21 (C) 20 (D) 19 (E) 18

解答:(C)。

方法一(官方解答):

我们绘制每位游泳者相对于时间的位置图[该图在 \( t = 3 \) (分钟)处结束]。3分钟后他们回到原位，因此在12分钟内这一循环重复了四次。由于该循环中有五次相遇，总相遇次数为 \( 4 \cdot 5 = {20} \) 。

该问题可视为周期性现象；较快游泳者的周期为60秒，较慢游泳者的周期为90秒(周期指游泳者返回起点所需的时间间隔)。共同周期为180秒即3分钟。

方法二(我们的解法):

如图所示，游泳者需 \( t \) 秒才能回到各自起始端点:

\[ \left( {3 + 2}\right) t = {90} \times 2 = {180}\; \Rightarrow \;t = {36}\text{ seconds. } \]

这意味着每36秒他们相遇一次。12分钟可换算为 \( {12} \times {60} = {720} \) 秒，因此在720秒内游泳者相遇 \( {720} \div {36} = {20} \) 次。

问题

问题1. 骑行者全程55英里小径的平均速度为15英里/小时。在30英里的上坡路段，骑行者平均速度为 \( {10}\mathrm{{mph}} \) 。下坡路段的平均速度是多少？(小径仅有上坡或下坡，无平路。)

(A) \( \frac{73}{2}\mathrm{{mph}} \) (B) \( \frac{61}{2}\mathrm{{mph}} \) (C) \( \frac{25}{3}\mathrm{{mph}} \) (D) \( \frac{36}{5}\mathrm{{mph}} \) (E) \( \frac{75}{2}\mathrm{{mph}} \)

问题2. 若汽车以50英里/小时从 \( \mathrm{A} \) 镇驶往 \( \mathrm{B} \) 镇，返程以70英里/小时行驶相同距离，求往返全程的平均速度。

(D) \( {59}\mathrm{{mph}} \) (E) \( \frac{1745}{5}\mathrm{{mph}} \)

问题3. 阿什维尔(Asheville)到罗利(Raleigh)的距离约为250英里。Acme巴士公司宣称可在9/2小时内完成行程。但司机前120英里以 \( {50}\mathrm{{mph}} \) 行驶。为按时抵达罗利，剩余路程需以多快速度行驶？

(B) \( \frac{37}{2}\mathrm{{mph}} \) (D) \( \frac{130}{3}\mathrm{{mph}} \) (E) \( \frac{1300}{21}\mathrm{{mph}} \)

问题4. 艾玛比保罗早出发30分钟。若她以 \( {60}\mathrm{{mph}} \) 行驶，保罗以 \( {70}\mathrm{{mph}} \) 行驶，保罗追上艾玛时两人各行驶了多远？

(A) 3英里 (B) 130英里 (C) 175英里 (D) 180英里 (E) 210英里

问题5. 丹尼以4英里/小时从A镇步行前往B镇，比一辆12英里/小时的汽车早出发1小时，后被汽车接走。抵达B镇后，他发现乘车时间为2小时。求 \( \mathrm{A} \) 与 \( \mathrm{B} \) 之间的距离。

(A) 30英里 (B) 50英里 (C) 75英里 (D) 80英里 (E) 20英里

问题6. 亚历克斯、鲍勃和查尔斯从同一地点出发，速度分别为每小时4、5、6英里。鲍勃比亚历克斯晚2小时出发。查尔斯必须在鲍勃出发后多久出发，才能使他们同时追上亚历克斯？

(A) \( \frac{4}{3} \) 小时 (B) 1.33 小时 (C) \( \frac{20}{3} \) 小时 (D) 1.2 小时 (E) 2.5 小时

问题7. (AMC 12) \( A \) 绕圆形跑道一圈需40秒。 \( B \) 沿相反方向跑，每15秒与 \( A \) 相遇一次。求 \( B \) 绕跑道一圈所需的时间(秒)。

(A) \( {12}\frac{1}{2} \) (B) 24 (C) 25 (D) \( {27}\frac{1}{2} \) (E) 55

问题8. 在距离为 \( d \) 的赛跑中，亚历克斯领先鲍勃40码，鲍勃领先查尔斯20码，亚历克斯领先查尔斯56码。求 \( d \) 的码数？ (A) 240 (B) 210 (C) 200 (D) 190 (E) 180

问题9. 两人中午从相距60英里的两镇同时出发。一人以每小时4英里行走，但途中停留 \( 2\frac{1}{2} \) 小时；另一人以每小时3英里行走且不停留。他们多久会相遇？ (A) 4 小时 (B) 6 小时 (C) 8 小时 (D) 9 小时 (E) 10 小时

问题10. \( \operatorname{Car}A \) 的速度为 \( {40}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) 。 \( \operatorname{Car}B \) 的速度为 \( {60}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) 。两车同时出发， \( A \) 从 \( M \) 镇驶向 \( N \) 镇， \( B \) 从 \( N \) 镇驶向 \( M \) 镇，沿同一直线公路行驶。两车相遇后， \( A \) 再经4.5小时到达 \( N \) 镇。求 \( M \) 镇与 \( N \) 镇之间的距离？ (A) \( {180}\mathrm{\;{km}} \) (B) \( {120}\mathrm{\;{km}} \) (C) \( {260}\mathrm{\;{km}} \) (D) \( {290}\mathrm{\;{km}} \) (E) \( {300}\mathrm{\;{km}} \)

问题11. 亚历克斯从A镇出发，贝齐从B镇出发，相向而行。当亚历克斯走完一半路程时，贝齐走了 \( {16}\mathrm{\;{km}} \) ；当贝齐走完一半路程时，亚历克斯走了 \( {25}\mathrm{\;{km}} \) 。当亚历克斯到达B镇时，贝齐离A镇还有多远？

(A) \( 8\mathrm{\;{km}} \) (B) \( {40}\mathrm{\;{km}} \) (C) \( {20}\mathrm{\;{km}} \) (D) \( 9\mathrm{\;{km}} \) (E) \( {16}\mathrm{\;{km}} \)

问题12. 一艘船逆流从两港间航行需40分钟；顺流返回时，比静水航行少用6分钟。求返程所需的最大分钟数。

(A) 18 (B) 5 (C) 24 (D) 10 (E) 25

问题13. 一艘船顺流行驶 \( {120}\mathrm{\;{km}} \) ，再逆流行驶 \( {80}\mathrm{\;{km}} \) ，共耗时16小时；又顺流行驶 \( {60}\mathrm{\;{km}} \) ，再逆流行驶 \( {120}\mathrm{\;{km}} \) ，同样耗时16小时。求水流速度。

(A) \( \frac{5}{2}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) (B) \( \frac{5}{3}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) (C) \( 2\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) (D) \( \frac{3}{2}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \) (E) \( 3\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h} \)

问题14。一条环形跑道长400米。贝齐(Betsy)和亚历克斯(Alex)同时从同一点 \( \mathrm{A} \) 出发，沿相反方向跑步。第一次相遇后，他们继续跑。贝齐再跑262/3秒到达点A，而亚历克斯再跑1分钟到达点A。求亚历克斯的速度。

(A) \( 5\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (B) \( 4\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (C) \( 2\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (D) \( 9\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \) (E) \( 6\mathrm{\;m}/\mathrm{s} \)

问题15。(AMC 10A)15。奥德尔(Odell)和克肖(Kershaw)在环形跑道上跑30分钟。奥德尔以 \( {250}\mathrm{\;m}/\mathrm{{min}} \) 的速度顺时针跑，使用半径50米的内道；克肖以 \( {300}\mathrm{\;m}/\mathrm{{min}} \) 的速度逆时针跑，使用半径60米的外道，且与奥德尔在同一条径向线上起跑。问:自出发后，他们相遇多少次？

(A) 29 (B) 42 (C) 45 (D) 47 (E) 50

问题16。(AMC 12)某人以恒定速率行走一段距离。若他每小时快 \( \frac{1}{2} \) 英里，则只需原时间的五分之四；若每小时慢 \( \frac{1}{2} \) 英里，则在路上多花 \( 2\frac{1}{2} \) 小时。他行走的距离(英里)为

(A) \( {13}\frac{1}{2} \) (B) 15 (C) \( {17}\frac{1}{2} \) (D) 20 (E) 25

解答

问题1。解答:(E)。

方法1:

\[ t = {t}_{1} + {t}_{2} \Rightarrow \frac{30}{10} + \frac{{55} - {30}}{{r}_{2}} = \frac{55}{15}\; \Rightarrow {r}_{2} = \frac{75}{2}. \]

方法2:

30英里的上坡路段耗时3小时，而25英里的下坡路段耗时 \( h \) 小时，全程平均速度为 \( \frac{55}{3 + h} = {15} \Rightarrow {55} = {45} + {15h} \Rightarrow h = 2/3 \) 英里/小时。因此下坡的平均速度为 \( \frac{25}{2/3} = \frac{75}{2} \) 。

问题2。解答:(A)。

设单程距离为 \( d \) ，速度分别为 \( {r}_{1} \) 和 \( {r}_{2} \) 。

平均速度 \( = \frac{\text{ total distance }}{\text{ total time }} = \frac{2d}{d/{r}_{1} + d/{r}_{2}} = \frac{2{r}_{1}{r}_{2}}{{r}_{1} + {r}_{2}} = \frac{2 \cdot {50} \cdot {70}}{120} = \frac{175}{3} \) 。

问题3。解答:(E)。

设 \( X \) 为距离阿什维尔(Asheville)36英里的地点。

方法1: \( t = {t}_{1} + {t}_{2} \Rightarrow \frac{120}{50} + \frac{{250} - {120}}{{r}_{2}} = \frac{9}{2} \Rightarrow {r}_{2} = \frac{1300}{21} \) 。

方法2:在行程的第一段，司机已行驶120英里，耗时 \( {120}/{50} = {2.4} \) 小时。因此，他还剩 \( {250} - {120} = {130} \) 英里要走，并需在 \( {4.5} - {2.4} = {2.1} \) 小时内完成。第二段行程的平均速度必须为 \( {130}/{2.1} = {61.9}\mathrm{{mph}} \) 。

问题4。解答:(E)。

在30分钟(即0.5小时)内，Emma行驶了 \( {0.5} \times {60} = {30} \) 英里。

根据(1.4)， \( d = \left( {{r}_{A} - {r}_{B}}\right) t\; \Rightarrow \;{30} = \left( {{70} - {60}}\right) t\; \Rightarrow \;t = 3 \) 小时。

当Paul追上Emma时，Paul已行驶 \( 3 \times {70} = {210} \) 英里。

问题5。解答:(A)。

设 \( t \) 为汽车追上行人所需的时间。

\( \left( {{12} - 4}\right) t = 4\; \Rightarrow \;t = \frac{1}{2} \)

在这段时间内，汽车行驶 \( {12} \times \frac{1}{2} = 6 \) 英里。

汽车随后行驶的距离为 \( {12} \times 2 = {24} \) ，因此从 \( A \) 到 \( B \) 的距离为6 + \( {24} = {30} \) 英里。

问题6。解答:(A)。

设 \( {t}_{B} \) 为Bob追上Alex所需的时间。

\[ \left( {5 - 4}\right) {t}_{B} = 8\; \Rightarrow \;{t}_{B} = 8\text{.} \]

在8小时内，Bob行驶 \( 5 \times 8 = {40} \) 英里，与Charles在追上Alex前行驶的距离相同。

设追上Alex所需的时间为 \( {t}_{c} \) 。由于Charles的速度为6，

\( 6{t}_{C} = {40}\; \Rightarrow \;{t}_{C} = \frac{20}{3}. \)

Charles必须在Bob出发 \( {t}_{B} - {t}_{C} = 8 - \frac{20}{3} = \frac{4}{3} = 1.\bar{3} \) 小时后启动，才能使他们同时超过Alex。

问题7。解答:(B)。

方法1(官方解法):

设 \( x \) 表示 \( {B}^{\prime } \) 的时间(秒)。设 \( l \) 代表跑道长度，我们

有 \( \frac{l}{40}\left( {15}\right) + \frac{l}{x}\left( {15}\right) = 1.\;\therefore x = {24} \) 。

方法2:

设 \( t \) 为绕跑道一圈所需的时间。那么我们有 \( \frac{15}{{40} - {15}} = \frac{t}{40} \) 。

解出 \( t \) 得到 \( t = {24} \) 秒。

方法3:

设 \( d \) 为路径长度。

由于A能在40秒内完成一圈，我们有

\[ d = {r}_{A}t = {40}{r}_{A} \tag{1} \]

由于他们每15秒相遇一次，我们有

\[ d = \left( {{r}_{A} + {r}_{B}}\right) t = {15}\left( {{r}_{A} + {r}_{B}}\right) \tag{2} \]

解方程(1)和(2)，我们得到:

\[ {r}_{B} = \frac{3}{5}{r}_{A}\; \Rightarrow \;{r}_{B} = \frac{5}{3}{r}_{A} \times \frac{40}{40} = \frac{1}{24}d \Rightarrow \;d = {24}{r}_{B} \]

因此 \( \mathrm{B} \) 完成一圈需要24秒。

问题8。答案:(C)。

设 \( {v}_{A},{v}_{B},{v}_{C} \) 分别为Alex、Bob、Charles的速度。那么

(1) \( \frac{d}{{v}_{A}} = \frac{d - {40}}{{v}_{B}} \) , (2) \( \frac{d}{{v}_{B}} = \frac{d - {20}}{{v}_{C}} \) , (3) \( \frac{d}{{v}_{A}} = \frac{d - {56}}{{v}_{C}} \) ,

\( \therefore \left( 4\right) \frac{d - {40}}{{v}_{B}} = \frac{d - {56}}{{v}_{C}} \) .

将方程(4)除以 \( d/{v}_{\mathrm{B}} \) 并利用方程(2)，我们得到

\[ \frac{d - {40}}{d} = \frac{d - {56}}{d - {20}}, \Rightarrow \;\frac{d - {40}}{d} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}.\therefore d = {200}. \]

问题9。答案:(E)。

设 \( t \) 为其中一人停下前他们所行驶的时间。

速度为 \( 4\mathrm{{mph}} \) 的人行驶了 \( {4t} + 0 \times {2.5} \) 。

速度为 \( 3\mathrm{{mph}} \) 的人行驶了 \( {3t} + {2.5} \times 3 \) 。

因此 \( {4t} + 0 \times {2.5} + {3t} + {2.5} \times 3 = {60} \) 。

解得 \( t = {7.5} \) 小时。

他们相遇需要 \( {7.5} + {2.5} = {10} \) 小时。

问题10。解答:(E)。

在4.5小时内，A车行驶了 \( {4.5} \times {r}_{A} = {4.5} \times {40} = {180}\mathrm{\;{km}} \) 。

设 \( {t}_{B} \) 为汽车 \( B \) 从城镇 \( M \) 行驶到相遇点所需的小时数。由于它们的速度之比与时间成反比，我们有

\[ \frac{40}{60} = \frac{{t}_{B}}{4.5}\; \Rightarrow \;{t}_{B} = 3\text{hours.} \]

注意 \( {t}_{B} \) 也是汽车 \( A \) 从城镇 \( M \) 行驶到相遇点所需的时间。因此，在3小时内，A车行驶的距离为 \( 3 \times {40} = {120}\mathrm{\;{km}} \) 。

于是，从城镇 \( M \) 到城镇 \( N \) 的距离为 \( {180} + {120} = {300}\mathrm{\;{km}} \) 。

问题11。解答:(A)。

设 \( d \) 为两城镇之间的总距离。

由于当Betsy行驶 \( {16}\mathrm{\;{km}} \) 时Alex已行驶了总距离的一半，根据距离-速率公式，我们有以下方程:

\[ \frac{\frac{d}{2}}{{r}_{A}} = \frac{16}{{r}_{B}} \tag{1} \]

由于当Alex行驶 \( {25}\mathrm{\;{km}} \) 时Betsy已行驶了总距离的一半，根据距离-速率公式，我们有以下方程:

\[ \frac{\frac{d}{2}}{{r}_{B}} = \frac{25}{{r}_{A}} \tag{2} \]

Alex到达B镇需要 \( \frac{d}{{r}_{A}} \) 的时间。因此，当Alex到达B镇时，Betsy已行驶了 \( \frac{d}{{r}_{A}} \times {r}_{B} \) 的距离，并且距离A镇还有 \( d - \frac{d}{{r}_{A}} \times {r}_{B} \) 。

化简方程(1)，得到 \( \frac{d}{{r}_{A}}{r}_{B} = {32} \) 。

将方程(1)与(2)相乘，得到(1) \( \times \left( 2\right) \) :

\[ {\left( \frac{d}{2}\right) }^{2} = {16} \times {25}\; \Rightarrow \;d = {40}. \]

\[ d - \frac{d}{{r}_{A}} \times {r}_{B} = {40} - {32} = 8. \]

问题12。解答:(C)。

设 \( d, v \) 和 \( w \) 分别表示两镇之间的距离、逆风速度(speed against the wind)和顺风速度(speed with the wind)。由此可知飞机在静风中的速度

为 \( \frac{1}{2}\left( {v + w}\right) \) 。已知(1) \( \frac{d}{v} = {40} \) 和(2) \( \frac{d}{w} = \frac{d}{\frac{1}{2}\left( {w + v}\right) } - 6 \) 。

设 \( x = d/w \) 为所求返航时间。将其代入(2)得

\[ x = \frac{2}{\frac{w}{d}} + \frac{v}{d} - 6 = \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{40}} - 6. \]

化简方程，得到 \( {x}^{2} - {34x} + {240} = 0 \) 。该二次方程的解为 \( x = {24} \) 和 \( x = {10} \) 。答案为24。问题13。解答:(A)。

设船在静水中的速度为 \( {r}_{E} \) ，水流速度为 \( {r}_{C} \) ， \( t \) 为

时间。

当船顺流航行时，由(1.9)得: \( {t}_{1} = \frac{120}{{r}_{E} + {r}_{C}} \) (1)

当船逆流航行时，由(1.11)得:

\[ {t}_{2} = \frac{80}{{r}_{E} - {r}_{C}} \tag{2} \]

(1) \( + \left( 2\right) : {16} = \frac{120}{{r}_{E} + {r}_{C}} + \frac{80}{{r}_{E} - {r}_{C}} \) (3)

\[ \text{Similarly,}{t}_{3} = \frac{60}{{r}_{E} + {r}_{C}} \tag{4} \]

当船逆流航行时，由(1.11)得:

\[ {t}_{4} = \frac{120}{{r}_{E} - {r}_{C}} \tag{5} \]

\( \left( 4\right) + \left( 5\right) : {16} = \frac{60}{{r}_{E} + {r}_{C}} + \frac{120}{{r}_{E} - {r}_{C}} \) (6)

由(3)和(6)得 \( \frac{120}{{r}_{E} + {r}_{C}} + \frac{80}{{r}_{E} - {r}_{C}} = \frac{60}{{r}_{E} + {r}_{C}} + \frac{120}{{r}_{E} - {r}_{C}} \) 或 \( {r}_{E} = 5{r}_{C}\left( 7\right) \)

将(7)代入(3)，得 \( {16} = \frac{120}{5{r}_{C} + {r}_{C}} + \frac{80}{5{r}_{C} - {r}_{C}} \Rightarrow {r}_{C} = \frac{5}{2} \) 。

问题14。解答:(B)。

方法一:

设 \( x \) 为贝齐(Betsy)的速度， \( y \) 为亚历克斯(Alex)的速度。

由于亚历克斯和贝齐在环形跑道上反向奔跑，当他们第一次相遇时，两人跑过的距离之和恰好等于环形跑道的周长。因此，

\[ {26}\frac{2}{3}x + {60y} = {400} \tag{1} \]

由于贝齐跑完与亚历克斯1

分钟所跑距离相同的路程需要26 2/3秒，我们得到以下方程。

\[ \frac{{26}\frac{2}{3}x}{y} = \frac{60y}{x} \tag{2} \]

将(2)中的项重新整理，我们得到: \( {2x} = {3y} \) (3)

将(3)代入(1)，我们得到:

\[ {26}\frac{2}{3}x + {40x} = {400} \Rightarrow \;x = 6. \]

将 \( x, x = 6 \) 的值代入(1)，我们得到 \( y = 4 \) 。

方法二:

根据(1.12)，我们有 \( t = \sqrt{{t}_{1} \times {t}_{2}} = \sqrt{{26}\frac{2}{3} \times {60}} = \sqrt{\frac{80}{3} \times {60}} = {40} \) 。

总时间为 \( T = t + {26}\frac{2}{3} = {40} + {26}\frac{2}{3} \) 。

因此 \( x = \frac{d}{T} = \frac{400}{{40} + {26}\frac{2}{3}} = 6 \) 且 \( y = 4 \) 。

问题15。解答:(D)。

方法一(官方解答):

由于奥德尔(Odell)的速率是克肖(Kershaw)的5/6，而克肖的单圈距离是奥德尔的6/5，因此他们各自跑完一圈所需的时间相同。于是，他们每绕跑道一圈就会相遇两次。奥德尔跑

\( \left( {{30}\mathrm{\;{min}}}\right) \left( {{250}\frac{m}{\mathrm{\;{min}}}}\right) \left( {\frac{1}{100\pi }\frac{\mathrm{{laps}}}{\mathrm{m}}}\right) = \frac{75}{\pi }\mathrm{{laps}} \approx {23.87}\mathrm{{laps}} \)

克肖亦如此。因为 \( {23.5} < {23.87} < {24} \) ，所以他们相遇 \( 2\left( {23.5}\right) = {47} \) 次。

方法二(我们的解答):

假设奥德尔(Odell)不动，而克肖(Kershaw)以 \( {250} + \) 的相对速度移动

\( {300} = {550} \)

30分钟内，克肖移动了 \( {550} \times {30} = {16500} \) 。

\[ \frac{16500}{2\pi r} = \frac{16500}{{2\pi } \times \frac{{50} + {60}}{2}} = \frac{150}{\pi } \approx {47.7}\text{. So they meet 47 times.} \]

问题16。解答:(B)。

方法1(官方解答):

设 \( R \) 和 \( T \) 分别表示第一速率及对应时间。该

男子行走的距离可表示为以下表达式:

\[ {RT},\left( {R + \frac{1}{2}}\right) \frac{4}{5}T,\left( {R - \frac{1}{2}}\right) \left( {T + \frac{5}{2}}\right) \text{.} \]

由于三种行走速率及其对应时间所得距离相同，

\[ {RT} = \left( {R + \frac{1}{2}}\right) \frac{4}{5}T = \left( {R - \frac{1}{2}}\right) \left( {T + \frac{5}{2}}\right) . \]

第一个等式等价于 \( R = \frac{4}{5}\left( {R + \frac{1}{2}}\right) , \) ，因此 \( R = 2 \) ，且 \( {RT} = {2T} \) 。

将这些值代入 \( {RT} = \left( {R - \frac{1}{2}}\right) \left( {T + \frac{5}{2}}\right) \) ，我们得到

\[ {RT} = \left( {R - \frac{1}{2}}\right) \left( {T + \frac{5}{2}}\right) T = \left( {2 - \frac{1}{2}}\right) \left( {\frac{RT}{2} + \frac{5}{2}}\right) = \frac{3RT}{4} + \frac{15}{4}, \]

解 \( {RT} \) ，得 \( \frac{RT}{4} = \frac{15}{4} \) ，即 \( {RT} = {15} \) 英里。

方法2(我们的解法):

设 \( V \) 和 \( T \) 分别表示常规速率及对应时间， \( d \) 为距离。

\[ \left( {V + \frac{1}{2}}\right) \frac{4}{5}T = d \tag{1} \]

\[ \left( {V - \frac{1}{2}}\right) \left( {T + \frac{5}{2}}\right) = d \tag{2} \]

\[ {VT} = d \tag{3} \]

解方程组，得 \( V = 2 \) 和 \( T = {15}/2 \) 。因此 \( d = {VT} = {15} \) 。